Control PID

Dentro de la teoría de control de procesos existen un gran número de corrientes y metodologías para resolver un problema en común que es lograr que un sistema se comporte de una forma específica sin comprometer o dañar a los elementos que lo componen. El control PID es una de estas metodologías y en este artículo analizaremos su funcionamiento, sus diferentes representaciones y cómo actúa sobre un sistema físico.

Fig. 1: Esquema de control PID.

Esta metodología surgió en 1911 de la mano de Elmer Sperry, inventor y emprendedor norteamericano que desarrolló los primeros bosquejos del control PID con el fin de automatizar la navegación de las embarcaciones estadounidenses durante la primera guerra mundial. Esta metodología le permitió desarrollar la girobrújula (también llamada girocompás), una primera versión de lo que hoy conocemos como giroscopio. Sin embargo, fue hasta 1922 cuando Nicolas Minorsky (matemático e ingeniero ruso) realizó un análisis teórico más exhaustivo de este método que llevó al desarrollo de mejores aplicaciones, siendo la más importante, el desarrollo de un viraje completamente automático de las embarcaciones americanas.

Fig. 2: Elmer Sperry y Nicolas Minorsky.

Por otra parte, debemos considerar la existencia de tres variables presentes en todo proceso controlable, estas son: variable de proceso (PV), variable de control (CV) y set point (SP). La primera se refiere al valor que arroja el sistema, es el que suele tener más variaciones pues cambia conforme a las perturbaciones y al efecto del controlador. La variable de control es aquel factor que altera la variable del proceso con el fin de alcanzar un valor deseado. Finalente, el set point es aquel valor que deseamos que nuestro sistema tenga para operar de forma adecuada, en teoría, es el valor que cambia con menor frecuencia pues se espera que los actuadores cumplan una rutina con valores predefinidos.

¿Por qué es tan importante el control PID?

Resulta extraño que un método tan simple como el PID sea tan usado cuando en la actualidad existen metodologías más exactas y desarrolladas de formas más específicas para los diferentes tipos de procesos y es que, con toda seguridad, podemos afirmar que más del 95% de todos los lazos de control llevan un PID como elemento controlador.

Lo anterior puede deberse a las siguientes cuestiones:

• Es simple, no requiere de un modelo matemático y es sencillo de implementar.
• Puede eliminar offsets de estado estacionario mediante la acción integral
• Puede anticipar tendencias de comportamiento del sistema mediante la acción derivativa
• Es robusto ante incertidumbres del sistema y en los parámetros del controlador

¿Qué partes integran a un control PID?

Como sus siglas lo indican, un control PID se conforma de tres partes que son la proporcional, la integral y la derivativa. Cada una añade un efecto sobre la respuesta del sistema que se está analizando y aunque no es indispensable la aparición de las tres componentes en un controlador, podemos elegir a qué valor darle más peso. La combinación de todas sigue la siguiente ecuación correspondiente a la señal de control.

Ecc. 1: Ecuación para señal de control de un PID.

Empecemos a definir cada una de las componentes y cuál es su efecto sobre la respuesta del sistema.

Acción proporcional (P):Esta componente se encarga de mitigar el offset que existe entre la variable de proceso y el set point. Hay casos muy específicos donde bastará con un control proporcional bien calibrado para eliminar la señal de error (diferencia entre la PV y el SP), sin embargo, no será muy efectivo ante perturbaciones en las entradas del sistema. Mientras más grande sea el valor de esta acción, menor será el error, pero, demandará energía de la señal de control, lo cual podría resultar en daños al equipo.

Acción integral (I): Esta componente nos permite modificar el tiempo de respuesta del sistema, pues, mientras más pequeño sea su valor, más rápido se reducirá el valor del error, pero, como consecuencia, un ajuste rápido producirá oscilaciones e inestabilidad en el sistema como consecuencia de forzar a los actuadores a tener una acción rápida.

Acción derivativa (D): Esta componente realiza acciones predictivas pues anticipa la acción de control para que el proceso reaccione más rápido de lo habitual, esto aumenta la estabilidad relativa del sistema y permite una respuesta más rápida y con menos oscilaciones. Sin embargo, eta acción no puede hacer frente a los errores en estado estacionario pues estos serán constantes.

Conociendo los efectos de las distintas componentes, podemos crear un control que sea adecuado para el proceso que estamos tratando de resolver, pues habrá ocasiones donde necesitemos una respuesta rápida sin importar que existan oscilaciones, otras requerirán una respuesta precisa a pesar de que tome un tiempo considerado alcanzarla y, en la mayoría de los casos, será necesario crear un control que permita tener una respuesta rápida, sin oscilaciones y con un error mínimo. Esto nos lleva a una nueva pregunta: ¿Cómo elegir los valores de las componentes de un control PID?

Ajuste de un control PID

Como mencionamos anteriormente, una de las ventajas del PID sobre otras metodologías de control es que no es necesario conocer el modelo matemático del sistema en cuestión, el cual, en la mayoría de los casos, puede resultar muy complicado de obtener si se desea una representación completamente fiel.

Esto nos lleva al primer método de ajuste conocido como “método de oscilación”, donde nos valemos de un sistema en lazo cerrado que consiste en utilizar únicamente una ganancia proporcional pequeña la cual servirá como indicador de la reacción del sistema.

Fig. 3: Sistema en lazo cerrado.

1. Utilizando solo control proporcional con una ganancia pequeña, incrementarla hasta que la respuesta del sistema comience a presentar oscilaciones sostenidas.
2. La ganancia obtenida se conoce como ganancia crítica y se denota por Kc, el periodo de oscilación a la salida del controlador se le nombrará Pc.
3. Ajustar los parámetros del controlador según los siguientes criterios:

	Kp	Ti	Td
P	0.5 Kc
PI	0.4 Kc	Pc/1.2
PID	0.6 Kc	0.5 Pc	Pc/8

Tabla 1: Parámetros PID en lazo cerrado.

Estos parámetros surgen a partir del análisis Ziegler y Nichols, un método que se vale del análisis de polos y ceros de un modelo físico para obtener las ganancias adecuadas a un determinado sistema.

Existe un segundo método que corresponde a un sistema de lazo abierto denominado “curva reacción”.

Fig. 4: Sistema en lazo abierto.

1. Llevar a la planta a un punto de operación normal, es decir, cuando la salida del sistema se estabilice en y(t) = y₀ ante una entrada constante u(t) = u₀
2. En el instante inicial t0, aplicar un cambio en la entrada de tipo escalón, desde u₀ a u_n
3. Registrar la salida hasta que se estabilice en el nuevo punto de operación y calcular los parámetros del modelo de la siguiente forma:

De forma análoga al método por lazo cerrado, se calculan las componentes de acuerdo a la siguiente tabla que, de igual forma, es el resultado experimental de los análisis de Ziegler y Nichols.

	Kp	Ti	Td
P	v0/(K0 τ0)
PI	0.9 v0/(K0 τ0)	3 τ0
PID	1.2 v0/(K0 τ0)	2 τ0	0.5 τ0

Tabla 2: Parámetros PID en lazo abierto.

Finalmente, conociendo los métodos descritos anteriormente, podemos desarrollar un ejemplo.

Acción de un control PID ante una entrada escalón

Utilizaremos el software Simulink de MathWorks para crear el siguiente lazo de control. La entrada es un escalón unitario, se utiliza el bloque PID, se propone esa función de transferencia como un sistema de tercer orden que emula un sistema físico real, después de esto se cierra el lazo y un Scope permite observar la salida del sistema.

Fig. 5: Ejemplo de control PID en lazo cerrado.

Al ser un sistema de lazo cerrado, seguimos la primera metodología descrita. Comenzamos por cambiar a un control puramente proporcional con un valor bajo, en este caso será de 1. De este proceso obtenemos la siguiente respuesta.

Fig. 6: Respuesta del sistema con Kc = 1.

Observamos que la banda entre la respuesta del sistema y el set point es muy grande y aún no aparecen las oscilaciones requeridas, por lo tanto, incrementaremos la ganancia proporcional hasta lograr dicha respuesta.

Al incrementar el valor de la ganancia proporcional hasta 8, la respuesta del sistema obtiene la forma requerida para hacer el ajuste correspondiente.

Fig. 7: Respuesta del sistema con Kc = 8.

Entonces, este valor se convierte en Kc, mientras que las oscilaciones tienen un periodo Pc de 5.522 [s]. A partir de estos valores aplicamos la tabla 1 para obtener las componentes PID que son los siguientes:

• Kp = 4.8
• Ti = 1.761
• Td = 0.44025

Antes de ingresar los valores anteriores, debemos realizar un par de ajustes en el bloque PID. El primero es seleccionar el tipo de controlador adecuado y el segundo es seleccionar la forma ideal, la cual cumple con la ecuación 1 mostrada anteriormente. Entonces, observamos que la componente integral debe ser el inverso matemático de Ti, por lo cual obtenemos un valor de 0.568.

Fig. 8: Ajuste del bloque PID.

Simulando una vez más nuestro sistema obtenemos la siguiente respuesta que resulta bastante adecuada para el tipo de lazo que tenemos.

Fig. 9: Respuesta del sistema controlada por PID.

Sin embargo, aún podríamos ajustar los valores de las ganancias con el fin de reducir el sobrepaso de la respuesta, para esto, cambiaremos la ganancia derivativa a 0.9 para reducir las oscilaciones. Dicho cambio nos entrega la siguiente respuesta:

Fig. 10: Respuesta del sistema con ganancia derivativa modificada.

Será la naturaleza del sistema la que nos indique si es una mejor aproximación dados los requerimientos de éste.

Conclusiones

Cuando hablamos de automatización de procesos, el concepto de control siempre va relacionado pues, como mencionamos anteriormente, deseamos que las variables internas de un sistema se comporten de una forma específica. En algunos casos esto es sencillo, si las variables en cuestión son de tipo digital, basta con saber en qué momento deben ser energizadas para obtener un estado “ON” y, por el contrario, en qué momento debemos suprimir la alimentación energética para obtener un “OFF”, sin embargo, en el mundo real, hay un sinfín de variables de tipo analógico que, por su naturaleza, resulta imposible controlar con un simple encendido y apagado de un bit. En estos casos, el control PID funge como una primera aproximación a las soluciones y es que, matemáticamente, funciona como una serie de factores que multiplicarán la señal de entrada al sistema logrando acondicionarla para evitar daños en los equipos del proceso como podría ser una sobrecorriente en un sistema eléctrico, una temperatura extremadamente elevada en un proceso térmico o un valor de presión más alto de lo que pueden soportar los actuadores de un sistema neumático o hidráulico.

Como hemos revisado, este tipo de control es demasiado sencillo y según sea el sistema a resolver, es posible incluso “jugar” con su comportamiento con el fin de obtener una respuesta idónea que cumpla con las necesidades del proceso donde se encuentre el lazo de control.

Agradecemos al usuario Eyro Heredia por la recomendación para abordar este tema y, de igual forma, extiendo una invitación a todos los usuarios para indicarnos sus dudas, comentarios o sugerencias en la sección de comentarios y a través de nuestras redes sociales.

 Nuevamente, gracias por leer.

-AHN